نشأة الهندسة التحليلية وعلاقتها بفروع الرياضيات المختلفة
نشأة الهندسة التحليلية وعلاقتها بفروع الرياضيات المختلفة، تعد الهندسة التحليلية من أهم الفروع التي تعمل تحويل دراسة الأشكال الهندسية في المستوي والفضاء إلى دراسة معادلات جبرية، حيث يتم من خلالها التعبير عن النقطة الهندسية بأعداد تسمى الإحداثيات.
ومن هنا يمكن التعامل مع تلك الإحداثيات بدلًا من النقاط، وبالتالي يمكن التعبير عن المنحنيات والسطوح بمعادلات جبرية، ومن هنا يطلق على الهندسة التحليلية في بعض الأحيان اسم الهندسة الإحداثية.
المحتويات
[ عرض ]
تعريف الهندسة التحليلية
- علم الهندسة التحليلية هي أحد الأفرع الهامة في فروع الرياضيات، حيث تقوم بعمل تحليل دقيق لكافة البيانات التي تخص الأشكال الهندسية.
- مثل قياسات الزوايا وأحجام الأشكال ومساحتها، بالإضافة إلى معرفة المسافات بين النقاط وتحديدها.
- علم الهندسة التحليلية هو العلم الذي يقوم بدراسة كافة الأشكال الهندسية والمخططات.
- من خلال استخدام التقنيات التي أسست علم الجبر، بالإضافة لتحليل رياضي شامل في ظل إحداثيات معينة.
- علم الهندسة التحليلية هو العلم الذي يتميز بالقدرة على القيام بشرح تمثيلي لكافة الأشكال الهندسية.
- من خلال استخدام المعادلات رمزية، وهو من أهم ما يميز الهندسة التحليلية.
- علم الهندسة التحليلية يمكنه تمثيل الأشكال الهندسية من خلال طريقتين.
- يشملان معادلات من الدرجة الثانية وهو ما يخص الأشكال الهندسية، أما معادلات الدرجة الأولى تحص الخطوط.
بداية الهندسة التحليلية
- استطاع عالم الرياضيات اليوناني مينايخموس تحليل بعض المعضلات، حيث برهن على مبرهنات.
- من خلال استعمال بعض الطرق التي تملك العديد من الشبه مع نظام الإحداثيات الحالي، مما قيل عنه في بعض الأحيان أنه هو من ابتكر الهندسة التحليلية.
- الفرس: ففي القرن ال 11الميلادي، رأى عالم الرياضيات الفارسي عمر الخيام أن هناك علاقة قوية بين الجبر والهندسة.
- حيث قام بالمساعدة على سد الفراغ الموجود بين الجبر العددي والجبر الهندسي.
- وذلك عن طريق حلحلته الهندسية للمعادلات التكعيبية العامة، إلا أن الخطوة النهائية أتت فيما بعد مع ديكارت.
- أوروبا الغربية: إن من أكثر من أسندت إليهم الهندسة التحليلية هو العالم ديكارت.
- فقد حقق الكثير من التطورات الهامة التي نشرها في عمل له عنوانه الهندسة، وتم نشر ذلك الكتاب 1637م باللغة الفرنسية.
اخترنا لك: بحث رياضيات ثاني ثانوي
تاريخ الهندسة التحليلية
- كانت البداية الفعلية للهندسة التحليلية مع القرن 17، حيث حدثت طفرة في علم الرياضيات، والسبب وراء تلك الطفرة علم الهندسة التحليلية.
- والتي تم من خلالها إيجاد الحلول المناسبة للمشكلات العديدة التي ظهرت خلال هذا العصر.
- تعد الهندسة التحليلية منذ نشأتها حتى عصرنا الحالي إعجاز علمي لم يسبقه غيره، ويرجع الفضل وجود بصمتها الأساسية في العلوم الأخرى المختلفة.
- إن أول من ابتكر علم الهندسة التحليلية هما ري نيه ديكارت وبيير دي فير مات أصحاب الجنسية الفرنسية.
- وذلك من خلال إجراء الكثير من الطرق والمحاولات التي انتهت بولادة هذا العلم.
- مع بداية القرن السابع عشر ظهر علم الهندسة التحليلية في فرنسا بعد ظهور بعض المشاكل التي واجهت علماء الرياضيات آنذاك، ومن هنا بدأ التنافس فيما بينهم.
- لم يستطيع علماء الرياضيات من حل تلك المشاكل بعد أن تراكمت وتعاقدت، عن طريق علوم الرياضيات سواء كان علم الجبر أو علم الهندسة.
- ومن خلال علم الهندسة التحليلية استطاعت الهندسة التحليلية الجمع بين علم الجبر وعلم الهندسة.
- وتم استخدامهم معًا في إيجاد الحلول لمشكلات لذلك العصر، حتى امتدت لتصل إلينا.
شاهد أيضًا: موضوع تعبير عن الرياضة البدنية بالعناصر
الهندسة التحليلية وعلاقتها بفروع الرياضيات المختلفة
- تعد الهندسة التحليلية ممتثلة في الانضمام إلى ما يعرف بالتقاليد الهامة في الرياضيات، مثل تقاليد الهندسة في دراسة الشكل أو التكوين.
- ويختص ذلك النوع بالحساب والجبر، حيث تتعامل مع الكمية أو العدد.
- ويعد هذ ا المزج من الأمور الضرورية لتقدم العلوم الفيزيائية، إلى ما وراء مفاهيم فلسفة أرسطو حول الحركات الكاملة والناقصة، لتتحول إلى فلسفة طبيعية تقوم على الملاحظة والتجربة.
- وهذا يؤكد مدى اهتمام كل من فيرما وديكارت بالقضايا العلمية في عصرهم، فيما يتعلق بالبصريات على وجه الخصوص.
- ولقد أصبحت التقنيات الخاصة بحساب التفاضل والتكامل الرياضيات الأساسية للعلوم الفيزيائية والهندسة.
- فضلًا عن إضافة المعادلات التفاضلية لحساب التفاضل والتكامل والهندسة التحليلية.
- لقد أثبت الإطار الرياضي قوته بهدف دمج المجالات الجديدة للفيزياء الحرارية والكهرومغناطيسية.
نظام الإحداثيات
- تقوم الهندسة التحليلية من خلال النظام الديكارتي نسبة إلى ديكارت.
- من خلال تمثيل كل نقطة في المستوي ببعديها عن مستقيمين متعامدين يلتقيان في نقطة تسمى نقطة الأصل (0، 0).
- يطلق على المستقيمان محوري الإحداثيات الأفقي أو المحور السيني، والراسي المحور الصادي مع تحديد موقع النقاط في المستوي على خطى الأعداد.
- ويسمي س الإحداثي السيني بينما يحدد ص الإحداثي الصادي ويكتب هذان الإحداثيان على صورة زوج مرتب (س، ص).
- ترتبط كل نقطة في المستوي بزوج مرتب وحيد من الأعداد (س، ص)، وكل زوج مرتب يرتبط بنقطة واحدة فقط في المستوي.
عناصر الهندسة التحليلية الأساسية
- تنتج معادلة ديكارت للخط من خلال تواجد خط يقع بين نقطتين ويمر بينهما.
- ويعرف بأنه الخط الواصل بين نقطتين دون تواجد لأي انحراف، ومن ثم عدم وجود للزوايا.
- مفهوم المخروطات يعني اتصال بين نقطتين إحداهما ثابتة والأخرى منحنية، ومن ثم فإن المخروطات هي شكل منحني.
- يتميز المحيط من خلال وجود نقاط ثابتة على مسافات متساوية من مركزه، وهوما يجعله منحني مستوى مغلق.
- يعرف الشكل البيضاوي باسم القطع الناقص، وهو يرمز إلى نقطة تتحرك في مستوي يكون فيها مجموع المسافات تجاه نقطتين به ثابت.
- القطع الزائد يعرف بأنه وصف لنقطة تتحرك في مستوى يكون فيه الفرق بين مسافتين نحو نقطتين ثابت.
النهج الجبري للهندسة الذي اكتشفه ديكارت
- لقد قام ديكارت باكتشاف نهجًا جبريًا للهندسة، حيث بدأ في ملحقه الخاص بالهندسة.
- بالإشارة إلى أن البوصلة والإنشاءات التب بها حافة المستقيمة للهندسة، تتضمن الجمع والطرح والضرب والقسمة وأخذ الجذور التربيعية.
- قام باقتراح حرف يمكن من خلاله تمثيل طول كل سطر من الخطوط التي تظهر في البناء.
- من ثم كتابة تلك المعادلات المتعلقة بأطوال الخطوط، بهدف الحصول على العديد من المعادلات حيث توجد خطوط غير معروفة.
- ومن هنا يصبح إيجاد الأطوال المجهولة تمثل مجموعة المعادلات التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة.
- ناقش ديكارت حل المشكلات التي تحتوي على منحنيات كحل لهان وذلك بعد توضيح إمكانية تطبيق الجبر في حل المشكلات الهندسية التقليدية.
- ويعد هذا النوع من المسائل من الأنواع التي تنتهي أحدها بعلاقة بين مجهولين.
- وقد اقترح ديكارت استخدام الطول بعيدًا عن نقطة ثابتة على خط معين لتمثيل x، والمسافة من x على خط مرسوم في اتجاه ثابت لتمثيل y.
- ومن ثم تم اختيار الاتجاه الثابت بزاوية قائمة على السطر الأول.
- وبالتالي يتم الحصول على النظام الحديث للإحداثيات المستطيلة المسمى باسم ديكارت.
- كما اقترح ديكارت بعد ذلك أي معادلة تتضمن قوى x وy تصف منحنى هندسيًا مقبولاً، والتي أظهرت أن المنحنيات المعروفة باسم المقاطع المخروطية والقطع الناقص.
- والقطع الزائد والقطع المكافئ كلها موصوفة بالمعادلات الجبرية التي فيها أعلى قوة لـ x أو y يساوي اثنين.
قد يهمك: مذكرة الرياضيات للصف الثالث الابتدائي الترم الاول المنهج الجديد
وفي النهاية نكون قد تعرفنا على بداية ونشأة الهندسة التحليلية، وكذلك علاقتها بالفروع المختلفة لعلم الرياضيات.