ما هي الاعداد النسبية في الرياضيات
ما هي الاعداد النسبية في الرياضيات الأرقام أو الأعداد هي عبارة عن طريقة للتعبير عن الكمية بعلم الرياضيات باستخدام العمليات الحسابية المتعددة وتسهيل حياة البشر بحساب الأيام والشهور وغيره، وكتابة الأرقام تختلف باختلاف الثقافات بشكل كبير، فهناك الأعداد العربية وهنالك الأعداد الهندية، وقد ساهم العالم المسلم الخوارزمي باكتشاف الصفر كعدد.
ما هي الأعداد النسبية
- الأعداد النسبية والتي تسمى أيضاً الأعداد الكسرية هي الأعداد التي تكتب على صورة أ/ب بحيث يكون أ وب عددان صحيحان، وب لا تساوي صفر، فمعظم ما يستخدم من أعداد في الحياة اليومية هي أعداد نسبية، وتختلف الأعداد الغير نسبية عنها فهي لا تحتوي في البسط أو المقام على أعداد صحيحة.
- والعدد الكسري أو العدد النسبي يطلق عليه عدد نسبي موجب إذا كانت إشارة العددين متشابهة في البسط والمقام، ويطلق على العدد النسبي عدد نسبي سالب إذا كانت إشارة العددين في البسط والمقام مختلفة.
ويمكن التوضيح بين علاقة الأعداد النسبية وباقي الأعداد في علم الرياضيات كما الآتي:
- تضم الأعداد النسبية جميع الأعداد الحقيقية، وتضم الأعداد الحقيقة جميع الأعداد الصحيحة، وتضم الأعداد الصحيحة جميع الأعداد الطبيعية.
- يمكن تحويل شكل الأعداد النسبية الأرقام صحيحة تضم منازل بعد الفاصلة كأجزاء من العدد الصحيح.
شاهد أيضًا: ما هي الأعداد الكلية؟
أمثلة على الأعداد النسبية أو الكسرية
الأعداد الصحيحة
تعتبر الأعداد الصحيحة كلها أعداداً نسبية، وهذا يعود لأن العدد الصحيح يمثل البسط في العدد النسبي، أما بالنسبة للمقام فهو الرقم واحد، كما هو موضح في الأمثلة التالية:
- الرقم 0 يعتبر عدداً نسبياً، وهذا لأن يمكن كتابته على صورة 1/0.
- الرقم 5 يعتبر عدداً نسبياً، وهذا لأن يمكن كتابته على صورة 1/5.
- الرقم -12 يعتبر عدداً نسبياً، وهذا لأن يمكن كتابته على صورة 1/-12.
الكسور والأعداد الكسرية
جميع الكسور التي يمكن كتابتها على شكل أ/ب، بشرط أن يكون قيمة أ وب فيها أعداداً صحيحة، وقيمة ب لا تساوي صفر تعتبر أعداداً نسبية، وينطبق هذا أيضاً على الأعداد الكسرية كما هو موضح في الأمثلة التالية:
- الكسر 22/-7 يعتبر عدداً نسبياً، وهذا لأن الرقمين 22 و-7 عددين صحيحين، والعدد 22 لا يساوي صفراً.
(ملاحظة)
الكسور والأعداد الكسرية بعضها لا يعتبر أعداداً نسبية، كما موضح في الأمثلة التالية:
- الكسر 0/155 لا يعتبر نسبي، بالرغم من أن العددان صحيحان الصفر والعدد 155، لكن المقام يساوي صفراً، وهذا يجعل القيمة غير معرفة.
- الكسر 4/π لا يعتبر نسبي، بالرغم من أن المقام عدداً صحيحاً إلا أن π لا تعتبر عدداً نسبياً.
الكسور العشرية
الكسور العشرية نسبية إذ كانت منتهية أو دورية، وهذا لأن يمكن كتابتها على صورة أ/ب كما هو موضح في الأمثلة التالية:
- الكسر العشري 1.8 يعتبر عدداً نسبياً، وهذا لأن يمكن كتابته على صورة 1/1.8، وعند ضرب البسط والمقام بالرقم 10/10 سينتج عن هذا 10/18 وهو عدد نسبي، بحيث سيكون العددين صحيحان والرقم 10 لا يساوي الصفر.
- الكسر العشري الدوري2.222 يعتبر عدداً نسبياً، وهذا لأن يمكن كتابته على شكل العدد الكسري 2 و2/1، ويمكن تحويله الى 2/10 والذي يعتبر عدداً نسبياً.
(ملاحظة)
- الكسور العشرية إذ كانت غير منتهية أو غير دورية فإنها لا تكون نسبية، والمثال الأشهر لهذا هو π والذي يساوي 3.14159265359.
خصائص الأعداد النسبية
تتلخص الخصائص للأعداد النسبية في الآتي:
عند القيام بضرب المقام والبسط للعدد النسبي بعدد صحيح لا تساوي قيمته الصفر، فإن ذلك لا يقوم بالتأثير على العدد النسبي ولن يغير من قيمته مثال:
عند ضرب البسط والمقام للعدد النسبي 5/2 بالرقم 3 فسيكون الناتج 15/6 وهو عدد نسبي، وعندما نقوم تبسيط القيمة لأبسط صورة له سيكون الناتج لهذه 5/2.
- عند القيام بقسمة المقام والبسط لعدد نسبي بعدد صحيح لا تساوي قيمته الصفر، فإن ذلك لا يقوم بالتأثير على العدد النسبي ولن تتغير قيمته مثال:
عند قسمة البسط والمقام للعدد النسبي 15/6 على الرقم 3 فسيكون الناتج لهذا 5/2 وهو عدد نسبي.
- دائماً عند جمع أو طرح أو ضرب عددين نسبيين فسيكون ناتجهم عدد نسبي، ولن يحصل وجود ناتج عدد غير نسبي.
- عند القيام بجمع عددين نسبيين لهما نفس قيمة المقام، في هذه الحالة سيكون الناتج هو حاصل مجموع البسط في كلا العددين، وسيكون المقام كما هو.
- عند القيام بضرب عددين نسبيين سيكون الناتج حاصل ضرب البسط/ حاصل ضرب المقام.
- مربع الجذر التربيعي دائماً يساوي عدداً نسبياً، وهو العدد الموجود داخل الجذر.
يؤدي حاصل ضرب الجذور النسبية إلى الحصول على عدداً نسبياً في بعض الأحيان مثال:
- عند ضرب الجذر التربيعي للعدد 2 بالجذر التربيعي للعدد 8 فسيكون حصيلة الناتج الجذر التربيعي للعدد 16 وسيساوي 2، وهو عدداً نسبياً.
- إذ كان بين البسط والمقام في العدد النسبي عاملاً مشتركاً وهو الرقم 1 فقط، فيطلق عليه الصورة القياسية للعدد النسبي.
لا يمكن الحصول على أعداداً نسبية في عملية الجمع والطرح أعداد غير نسبية، إلا إذا كان الرقمين مختلفين في الإشارة ويلقيان بعضهما مثال:
عملية الجمع -π+π ستؤدي للحصول على صفر كناتج للعملية، وهو عدد نسبي.
مثال: على عملية الجمع
34 + 74
الحل:
34 + 74 = 3+74 = 104
مثال آخر على عملية الجمع:
32 + 75
الحل:
32 + 75 = 2×7+5×35×2 = 14+1510 = 2910
شاهد أيضًا: ما هي الأعداد الحقيقية؟
مثال: على عملية الطرح
25 – 15
الحل:
25 – 15 = 1-25 = 15 ، 15 – 25 = 2-15 = 1-5
مثال: على عملية الضرب
135 × 213
الحل:
135 × 213 = 85 × 73 = 7×83×5 = 5615
مثال: على عملية القسمة
27 ÷ 43
الحل:
27 ÷ 43 = 27 × 34 = 3×24×7 = 628 = 314
كثافة الأعداد النسبية
- مجموعة الأعداد النسبية تتمتع بخاصية الكثافة، فبين كل عددين نسبيين توجد أعداد نسبية لا نهائية محصورة بينهما.
- فكلما يتم تكبير المقام عددين نسبيين كلما ظهرت بينهم أعداد أخرى لم تلاحظ في الحالة الأولى لها، فمثلا 25،35 إذا سُئل طالب ما هو العدد المحصور بينهما، سيكون جوابه لا يوجد أعداد بينهم لأن العدد 2 يأتي بعده العدد 3.
- ولكن إذا تم تكبير المقام لهما بضرب حدي العددين في رقم مثل 2، سنجد أن العددان يصبحا 410، 610 فإذ هو موضح أن بين هذين العددين عدد وهو 510.
- وعند القيام بضرب حدي العددان في 3 سنجد أن العددان أصبحا 615، 915 سنجد أن بينهم ينحصر عددان وهما 715، 815 وبهذا نرى أنه كلما تم تكبير المقام كلما نجد أنه تظهر أعداداً أخرى كثيرة بين كل عددان نسبيان.
مثال على ما سبق
أدخل عدداً نسبياً بين 12، 23
الحل:
نقوم بتوحيد المقام أولاً 12 = 36 ، 23 = 46 وهذا بضرب حدي العددان بعد التوحيد في الرقم
12 = 36 = 612 ، 23 = 46 = 812
612 < 712 < 812
شاهد أيضًا: كيفية طرح الاعداد الصحيحة
وبهذا المقال نكون قد أوضحنا لكم كم هائل من المعلومات عن الأعداد الصحيحة وأمثلتها وخصائصها، ونتمنى أن ينال على اعجابكم.